L'intégration et la différenciation sont deux concepts de calcul opposés. Le calcul différentiel consiste essentiellement à diviser quelque chose pour avoir une idée des changements. Contrairement à cela, le calcul intégral ajoute toutes les pièces ensemble. La différenciation concerne le calcul d'une dérivée qui est le taux instantané de changement de fonction en tenant compte d'une de ses variables. Alors que l'intégration traite du calcul de l'intégrale.
Qu'est-ce que l'intégration?
Voyons de quoi il s'agit.
L'intégration est essentiellement une version continue de la sommation.
Commençons par trouver la zone sous la courbe d'une fonction.
Une façon de faire est que nous pouvons calculer la fonction d'intégration en quelques points et additionner des tranches de largeur Δx. Mais de cette manière, la précision de la réponse serait moindre.
Si nous rendons Δx de plus en plus petit, la précision de la réponse augmentera.
Lorsque la largeur de chaque tranche atteint zéro, la vraie réponse est approchée. Lorsque Δx approche de zéro, il sera appelé dx.
Maintenant, la question est de savoir comment ajouter ces parties infiniment petites de la courbe. Ici, l'intégration nous aidera. L'intégration aide à la sommation continue des pièces. Pour cela, nous devons trouver l'intégrale.
* Comment trouver l'intégrale de 2x?
L'intégrale de 2x sera représentée comme
2x dx
Le symbole qui ressemble à un S étendu est le signe de l'intégrale tandis que 2x est la fonction à intégrer et dx est la tranche / parties le long de x.
Pourtant:
Si y = 2x + 3, dy / dx = 2
Si y = 2x + 5, dy / dx = 2
Si y = 2x, dy / dx = 2
Ainsi, l'intégrale de 2 peut être 2x + 3, 2x + 5, 2x, etc.
Pour cette raison, lorsque nous intégrons, nous devons ajouter une constante. Donc, l'intégrale de 2 est 2x + c, où c est une constante.
Pour intégrer un terme, augmentez sa puissance de 1 et divisez par ce chiffre. En d'autres termes:
2x dx = 2x1 + 11 + 1 + C
= 2x22 + C
= x2 + C
Comme C est une constante, l'intégrale pour 2x est x2.
Exemple de robinet et réservoir:
Voyons un exemple simple pour l'intégrale et les dérivées.
L'intégration est comme remplir un réservoir avec un robinet.
L'entrée (avant intégration) est le débit du robinet.
L'intégration du débit (addition de toutes les minuscules gouttes d'eau) donnera le volume d'eau dans le réservoir.
Intégration: Avec un débit de 1, le volume du réservoir augmente de x
Dérivée: si le volume du réservoir augmente de x, le débit est de 1
Différenciation
Comment trouver des dérivés? (différenciation)
Voyons maintenant comment trouver un dérivé.
Pour trouver la dérivée d'une fonction y = f (x), la formule de pente est utilisée.
Pente = Changement en Y Changement en X
Maintenant, la question est de savoir comment trouver le changement en x et y?
Regardez attentivement le diagramme ci-dessous et voyez le changement en x et y.
On peut voir dans le diagramme ci-dessus que
X devient x + Δx
Y passe de f (x) à f (x + Δx)
Maintenant, prenons un exemple pour mieux le comprendre.
Continuons avec le même exemple et trouvons la dérivée pour f (x) = xx.
On sait f (x) = x2, et on peut calculer f (x + Δx):
f (x + Δx) = (x + Δx) 2
f (x + Δx) = x2 + 2x Δx + (Δx) 2
* Développer (x + Δx) 2
La formule de la pente est: fx + Δx-f (x) Δx
Mettre en f (x + Δx) et f (x): x2 + 2x Δx + (Δx) 2 - x2Δx
Simplifier (x2 et −x2 annulent): 2x Δx + (Δx) 2Δx
Simplifier davantage (diviser par Δx): = 2x + Δx
Alors que Δx se dirige vers 0 on obtient: = 2x
Ainsi, la dérivée de x2 est 2x.
Un fait intéressant est que l'intégrale et les dérivés sont opposés l'un à l'autre. Découverte. Integral est l'inverse de la recherche d'un dérivé.
Pourquoi étudier la différenciation?
La différenciation est appliquée dans de nombreux domaines, notamment la science, l'ingénierie, l'analyse de la finance et l'économie. En ligne calculatrice dérivée peut également être utilisé pour éviter les calculs manuels et gagner du temps.
Une application importante de la différenciation est dans le domaine de l'optimisation, qui se réfère à la recherche de la condition pour qu'un maximum (ou minimum) se produise. Ceci est généralement appliqué dans les affaires (réduction des coûts, augmentation des bénéfices) et l'ingénierie (résistance maximale, coût minimum).
Pourquoi étudier l'intégration?
Historiquement, l'une des premières applications de l'intégration a été de trouver des volumes de fûts à vin (avec des surfaces courbes).
Les utilisations courantes de l'intégration incluent la recherche de zones sous des surfaces courbes, les centres de masse, le déplacement et la vitesse, l'écoulement de fluide, la modélisation du comportement des objets sous contrainte, etc.